数字信号处理 – Z 变换

Z变换是离散系统与离散信号分析与综合的重要工具，其地位和作用犹如拉普拉斯对于连续系统和连续信号。

从连续信号过渡到离散信号会导致频谱产生周期性，所以连续信号与离散信号存在本质性区别。

什么是Z变换？

$Z$变换的定义，根据《数字信号处理》这本书，可以从两个角度导出：

• 直接对离散信号定义

• 对抽样后的信号进行拉普拉斯变换 $\sim$ $Z$变换

1. 直接对离散信号定义

对离散信号$x(n)$，$n=-\infin \sim + \infin$，可直接给出$x(n)$的$Z$变换的定义：

$X(z) = \sum_{n=-\infin}^{\infin}x(n)z^{-n}$

又，实际信号是因果的

$X(z) = \sum_{n=0}^{\infin}x(n)z^{-n}$

2. 从连续信号导出

这里的目的是为了解释实际连续信号圆频率$\Omega$ ，归一频率$f'$，离散信号圆周频率$w$ 之间的关系。

对【采样后】连续信号进行拉普拉斯变换：

$X(s) = \int_{-\infin}^{+\infin} x(nT_s)e^{-st}dt = \sum_{n=-\infin}^{\infin}x(nT_s)e^{-snT_s}$

令$z = e^{sT_s}$ 【可以发现 $s$ 与 $z$ 是一一对应的】，也可得到$Z$变换的定义式

$X(z) = \sum_{n=-\infin}^{\infin}x(n)z^{-n}$

通过以上的分析，就将连续信号与离散信号联系了起来：

$z = e^{sT_s}$

3. 离散信号x(n)的含义

离散信号$x(n)$是从连续信号$x(t)$中采样出来的，这个时候就有个疑问，离散信号的n与t有什么关系呢？

离散信号$x(n)$是连续信号采样$x(nT_s)$的简写。

3.真频率与"假"频率

我这里将真频率定义为连续信号中的频率，假频率是经过采样后的离散信号中的频率。真频率的单位就是Hz，假频率是将真频率根据采样频率fs归一化得到的，反映的是一种比值，单位无量纲。

拉普拉斯复变量：$s = \sigma + j \Omega$

Z复变量：

$z = e^{sT_s} = e^{(\sigma+j\Omega)T_s} = |z|e^{jw}$

拉普拉斯变换【实际连续频率$\Omega$】与Z变换【离散信号频率$w$】的关系：

$\omega = \Omega T_s = 2 \pi f /f_s = 2\pi f'$

真频率与假频率的关系：

4. 拉普拉斯变换、Z变换与DFT变换的联系

傅里叶变换：

$X(e^{jw}) = \sum_{n=-\infin}^{\infin}x(n)e^{-jwn}$

Z 变换：

$X(z) = \sum_{n=-\infin}^{\infin}x(n)z^{-n}$

将$z = e^{sT_s}=|z|e^{jw}$ 代入Z变换公式中，

$X(|z|e^{jw})= \sum_{n=-\infin}^{\infin}[x(n)|z|^{-n}]e^{-jwn}$

当$|z|=1$时（也即$\sigma=0$时），$Z$变换$\rightarrow$ 离散序列傅里叶变换

$X(z)|_{z= e^{jw}} = X(e^{jw}) = \sum_{n=-\infin}^{\infin}x(n)e^{-jwn}$

$s$平面与$z$平面下的傅里叶变换：

注：S平面是直角坐标系，Z平面是极坐标系。可以发现在S平面与Z平面都可以转换为傅里叶变换。

Z 变换的收敛域

这里主要就是用到了幂级数的收敛，

例：$x(n) = a^n u(n)$ ，其中$u(n)$是单位阶跃函数，求$x(n)$的Z变换并决定收敛域。

$X(z) = \sum_{n=-\infin}^{\infin}a^nu(n)z^{-n} = \sum_{n=0}^{\infin}(az^{-1})^n$

要使得Z变换有意义，那么变换所得的函数必须在有限处收敛

$|az^{-1}|<1$

则，当$|Z|>|a|$时，级数收敛：

$X(z) = \frac{1}{1-az^{-1}} = \frac{z}{z-a}$

情况分析	是否存在傅里叶变换
$	a
$	a

Z变换的实例

考虑一个为两个实指数和的信号

$x[n]=\left(\frac{1}{2}\right)^{n} u[n]+\left(-\frac{1}{3}\right)^{n} u[n]$

其Z变换为：

$\begin{aligned} X(z) &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left\{\left(\frac{1}{2}\right)^{n} u[n]+\left(-\frac{1}{3}\right)^{n} u[n]\right\} z^{-n} \\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n} u[n] z^{-n}+\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(-\frac{1}{3}\right)^{n} u[n] z^{-n} \\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2} z^{-1}\right)^{n}+\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{1}{3} z^{-1}\right)^{n} \\ &=\frac{1}{1-\frac{1}{2} z^{-1}}+\frac{1}{1+\frac{1}{3} z^{-1}} \quad \text { Geometric Series } \\ &=\frac{2 z\left(z-\frac{1}{12}\right)}{\left(z-\frac{1}{2}\right)\left(z+\frac{1}{3}\right)} \end{aligned}$

为了使Z变换收敛，必须满足条件：

$\left\{\begin{array}{ccc} \left|\frac{1}{2} z^{-1}\right| & < & 1 \\ \left|-\frac{1}{3} z^{-1}\right| & < & 1 \end{array}\right.$

即

$\left\{\begin{array}{ccc} |z| & > & \frac{1}{2} \\ |z| & > & \frac{1}{3} \\ \end{array}\right.$

常用信号 Z变换

参考资料

1. https://www.cnblogs.com/TaigaCon/p/8299433.html
2. 《数字信号处理》（第3版）